Perkalian dan Penjumlahan Sinus dan Kosinus
1.
Rumus Perkalian Sinus dan Kosinus.
Sebelumnya
kita telah menurunkan dan menggunakan rumus jumlah berikut ini :
sin
(α + β) = sin α cos β + cos α sin β................................. (1)
sin
(α – β) = sin α cos β – cos α sin β.................................. (2)
cos
(α + β) = cos α cos β – sin α sin β................................. (3)
cos
(α – β) = cos α cos β + sin α sin β................................. (4)
1) Rumus-Rumus untuk 2 sin α cos β dan 2 cos α sin β.
A. Rumus untuk 2
sin α cos β
Perhatikan kembali rumus (1) dan (2). Jika
masing-masing ruas pada persamaan-persamaan itu dijumlahkan, maka diperoleh :
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β
_________________________________________+
sin (α +
β) + sin (α – β) = 2 sin α cos β
Jadi, 2
sin α cos β = sin (α + β) + sin (α – β).
B. Rumus untuk 2 cos α sin β
Sekarang, jika masing-masing ruas pada persamaan
(1) dan (2) dikurangkan, maka diperoleh :
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β
_________________________________________
-
sin (α +
β) – sin (α – β) = 2 cos α sin β
Jadi, 2
cos α sin β = sin (α + β) – sin (α – β)
Berdasarkan
pembahasan A dan B, diperoleh rumus untuk 2 sin α cos β dan 2 cos α sin β
sebagai berikut.
2 sin α cos β =
sin (α + β) + sin (α – β) .................. (1a)
2 cos α sin β =
sin (α + β) – sin (α – β) .................. (1b)
Contoh :
Nyatakan bentuk-bentuk
berikut ini :
a)
2 sin 560 cos 400 c) 2 cos 950 sin 300
b)
4 sin 2a cos a d) cos 2α sin α
PENYELESAIAN :
a)
2 sin 560 cos 400 = sin (56 + 40) + sin (56 – 40)
= sin
960 + sin 160
b)
4 sin 2a cos a = 2 (2 sin 2a cos
a)
= 2 {sin
(2a + a) + sin (2a – a)}
= 2 sin 3a
+ 2 sin a
c)
2 cos 950 sin 300 = sin (95 + 30) – sin (95 – 30)
= sin
1250 – sin 650
d)
cos 2α sin α = ½ (2 cos 2α sin
α)
= ½ {sin (2α +
α) – sin (2α – α)}
=
½ sin 3α – ½ sin α
Contoh :
Hitunglah nilai dari 2 cos 52½0 sin 7½0
PENYELESAIAN :
cos 82½ sin 37½ = ½ (2
cos 82½ sin 37½)
=
½ {sin (82½ + 37½) – sin (82½ - 37½)}
=
½ (sin 120 – sin 45)
=
½ (½ √3 - ½ √3)
=
¼ √3 - ¼ √2
=
¼ (√3 - √2)
2) Rumus-Rumus
untuk 2 cos α cos β dan 2 sin α sin β.
A. Rumus untuk 2 cos α cos β
Perhatikan kembali rumus (3) dan (4), apabila
masing-masing ruas pada kedua persamaan itu dijumlahkan, maka diperoleh :
cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β
cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β
_________________________________________
+
cos (α +
β) + cos (α – β) = 2 cos α cos β
Jadi, 2 cos α cos β = cos
(α + β) + cos (α – β).
B. Rumus untuk 2 sin α sin β.
Sekarang, jika masing-masing ruas pada persamaan
(3) dan (4) dikurangkan, maka diperoleh :
cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β
cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β
_________________________________________
-
cos (α +
β) – cos (α – β) = - 2 sin α sin β
Jadi, 2
sin α sin β = - { cos (α + β) – cos (α – β)}.
Berdasarkan
pembahasan A dan B diatas, kita memperoleh rumus untuk 2 cos α cos β dan 2 sin
α sin β sebagai berikut :
2 cos
α cos β = cos (α + β) + cos (α – β) .................. (2a)
2 sin
α sin β = - { cos (α + β) – cos (α – β)} .................. (2b)
Contoh :
Nyatakan bentuk – bentuk berikut sebagai jumlah
atau selisih kosinus.
a)
6 cos 3x cos
2x c) 3 sin 2α sin α
b)
6 cos 450
cos 300 d) 8 sin 600 sin 300
PENYELESAIAN :
a)
6 cos 3x cos
2x = 3(2 cos 3x cos 2x)
= 3
{cos (3x + 2x) + cos (3x – 2x)}
= 3
cos 5x + 3 cos x
b)
8 cos 450
cos 300 = 4(2 cos 450 cos 300)
=
4 {cos (450 + 300) + cos (450 – 300)}
=
4 cos 750 + 4 cos 150
c)
3 sin 2α sin
α = - 3/2 (-2 sin 2α sin α)
= - 3/2
{cos ( 2α + α) – cos (2α – α)}
= - 3/2
cos 3α + 3/2 cos α
d)
8 sin 600
sin 300 = - 4(- 2 sin 600
sin 300)
=
- 4 {cos (600 + 300) – cos (600 - 300)}
=
- 4 cos 900 + 4 cos 300
Contoh :
Hitunglah
nilai dari :
a) 4 cos 52½0 cos 7½0 b) 4 sin 52½0 sin 7½0
PENYELESAIAN :
a) 4 cos 52½0 cos 7½0 = 2 (2 cos 52½0 cos 7½0)
=
2 {cos (52½0 + 7½0) + cos (52½0 - 7½0)}
=
2 {cos 600 + cos 450}
=
2 ( ½ + ½ √2 )
=
1 + √2
b) 4 sin 52½0 sin 7½0 = - 2 ( -2 sin 52½0 sin 7½0)
=
- 2 {cos (52½0 + 7½0) – cos (52½0 - 7½0)}
=
- 2 (cos 600 – cos 450)
=
- 2 ( ½ - ½ √2)
= - 1 + √2
2.
Penjumlahan
Sinus dan Kosinus.
Rumus-rumus pada perkalian perkalian sinus dan kosinus,
ditulis kembali dengan cara ruas kiri ditulis menjadi ruas kanan dan ruas kanan
ditulis menjadi ruas kiri. Dengan cara seperti itu, diperoleh :
sin (α + β) +
sin (α – β) = 2 sin α cos β
sin (α + β) –
sin (α – β) = 2 cos α sin β
cos (α + β) +
cos (α – β) = 2 cos α cos β
cos (α + β) – cos (α – β) = - 2
sin α sin β
Misal α + β = Adan α –β = B,
makaα = ½ (A+ B) dan β = ½ (A – B).Pembuktiannya adalah sebagai berikut :
α + β = A α
+ β = A
α – β = B α
– β = B
________________ + __________________
-
2α = A + B 2β
= A – B
n α = ½ (A +
B) n β = ½ (A – B)
Dengan mensubsitusi
dan diperoleh :
sin A + sin B =
2 sin ½ (A + B) cos ½ (A – B) .................. (3a)
sin A – sin B =
2 cos ½ (A + B) sin ½ (A – B) .................. (3b)
cos A + cos B =
2 cos ½ (A + B) cos ½ (A – B) .................. (3c)
cos A – cos B =
– 2 sin ½ (A + B) sin ½ (A – B) .................. (3d)
Contoh :
1.
Nyatakan
bentuk-bentuk berikut ini kedalam bentuk perkalian.
a) sin 3x + sin x b) cos 7α + cos 5α
2.
Hitunglah nilai
dari :
a) sin 750 + sin 150 b) cos 750 – cos 150
PENYELESAIAN :
1.
Nyatakan kedalam
bentuk perkalian.
a)
sin 3x + sin
x = 2 sin ½ (3x + x) cos ½ (3x – x)
= 2 sin 2x cos
x
b)
cos 7α + cos 5α
= 2 cos ½ (7α + 5α) cos ½ (7α - 5α)
= 2 cos 6α
cos α
2.
Hitunglah :
a)
sin 750 +
sin 150= 2 sin ½ (750 + 150) cos ½ (750
– 150)
= 2 sin
450 cos 300
= 2. ½√2.
½√3
= ½√6
b)
cos 750
– cos 150 = - 2 sin ½ (750 + 150) sin ½ (750
– 150)
= - 2 sin
450sin 300
= - 2 .
½√2. ½
= - ½√2
DAFTAR
PUSTAKA
Mulyana, Endang. “Trigonometri”. http://file.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/195401211979031-ENDANG_MULYANA/SMA_IPA/Bab3_Trigonometri.pdf
(diakses tanggal 12 Oktober 2013).
