Rabu, 18 Juni 2014

Trigonometri

Invers Penjumlahan

dan Hasil Kali Trigonometri

  1. Fungsi Invers Trigonometri.

    Definisi : jika x = sin y, maka fungsi invers dari sinus didefinisikan dengan y = arc sin x. Dengan cara yang sama, jika:
    ·      x = cos y maka inversnya adalah y = arc cos-1 x;
    ·      x = tan y maka inversnya adalah y = arc tan-1 x.
    ·      x = sec y maka inversnya adalah y = arc sec-1 x; 
    • x = cosec y maka invernya adalah y = arc cosec-1 x;
  2. Perkalian dan Penjumlahan Sinus dan Kosinus 

    1.    Rumus Perkalian Sinus dan Kosinus.
    Sebelumnya kita telah menurunkan dan menggunakan rumus jumlah berikut ini :
    sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β................................. (1)
    sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β.................................. (2)
    cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β................................. (3)
    cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β................................. (4)
    1)   Rumus-Rumus untuk 2 sin α cos β dan 2 cos α sin β.
    A.  Rumus untuk 2 sin α cos β
    Perhatikan kembali rumus (1) dan (2). Jika masing-masing ruas pada persamaan-persamaan itu dijumlahkan, maka diperoleh :
    sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
    sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β
    _________________________________________+
    sin (α + β) + sin (α – β) = 2 sin α cos β
    Jadi, 2 sin α cos β = sin (α + β) + sin (α – β).
    B.  Rumus untuk 2 cos α sin β
    Sekarang, jika masing-masing ruas pada persamaan (1) dan (2) dikurangkan, maka diperoleh :
    sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
    sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β
    _________________________________________ -
    sin (α + β) – sin (α – β) = 2 cos α sin β
    Jadi, 2 cos α sin β = sin (α + β) – sin (α – β)
    Berdasarkan pembahasan A dan B, diperoleh rumus untuk 2 sin α cos β dan 2 cos α sin β sebagai berikut. 

    2 sin α cos β = sin (α + β) + sin (α – β)                                 .................. (1a)
    2 cos α sin β = sin (α + β) – sin (α – β)                                 .................. (1b)

    Contoh :
    Nyatakan bentuk-bentuk berikut ini :
    a)    2 sin 560 cos 400                                                  c)  2 cos 950 sin 300
    b)   4 sin 2a cos a                                                       d)  cos 2α sin α
    PENYELESAIAN :
    a)      2 sin 560 cos 400 = sin (56 + 40) + sin (56 – 40)
                               = sin 960 + sin 160
    b)      4 sin 2a cos a  = 2 (2 sin 2a cos a)
                           = 2 {sin (2a + a) + sin (2a – a)}
                           = 2 sin 3a + 2 sin a
    c)      2 cos 950 sin 300 = sin (95 + 30) – sin (95 – 30)
                               = sin 1250 – sin 650
    d)     cos 2α sin α  = ½ (2 cos 2α sin α)
                        = ½ {sin (2α + α) – sin (2α – α)}
                                     = ½ sin 3α – ½ sin α 

    Contoh :

    Hitunglah nilai dari 2 cos 52½0 sin 7½0
    PENYELESAIAN :
    cos 82½ sin 37½ = ½ (2 cos 82½ sin 37½)
                                 = ½ {sin (82½ + 37½) – sin (82½ - 37½)}
                                 = ½ (sin 120 – sin 45)
                                 = ½ (½ √3 - ½ √3)
                                 = ¼ √3 - ¼ √2
                = ¼ (√3 - √2) 


    2) Rumus-Rumus untuk 2 cos α cos β dan 2 sin α sin β.
    A.  Rumus untuk 2 cos α cos β
    Perhatikan kembali rumus (3) dan (4), apabila masing-masing ruas pada kedua persamaan itu dijumlahkan, maka diperoleh :
    cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β
    cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β
    _________________________________________ +
    cos (α + β) + cos (α – β) = 2 cos α cos β
    Jadi, 2 cos α cos β = cos (α + β) + cos (α – β).
    B.  Rumus untuk 2 sin α sin β.
    Sekarang, jika masing-masing ruas pada persamaan (3) dan (4) dikurangkan, maka diperoleh :
    cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β
    cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β
    _________________________________________ -
    cos (α + β) – cos (α – β) = - 2 sin α sin β
    Jadi, 2 sin α sin β = - { cos (α + β) – cos (α – β)}.
    Berdasarkan pembahasan A dan B diatas, kita memperoleh rumus untuk 2 cos α cos β dan 2 sin α sin β sebagai berikut : 

    2 cos α cos β = cos (α + β) + cos (α – β)                               .................. (2a)
    2 sin α sin β = - { cos (α + β) – cos (α – β)}                          .................. (2b)

    Contoh :
    Nyatakan bentuk – bentuk berikut sebagai jumlah atau selisih kosinus.
    a)    6 cos 3x cos 2x                         c)  3 sin 2α sin α
    b)   6 cos 450 cos 300                       d)  8 sin 600 sin 300
    PENYELESAIAN :
    a)    6 cos 3x cos 2x = 3(2 cos 3x cos 2x)
                                   = 3 {cos (3x + 2x) + cos (3x – 2x)}
                                   = 3 cos 5x + 3 cos x
    b)   8 cos 450 cos 300 = 4(2 cos 450 cos 300)
                                     = 4 {cos (450 + 300) + cos (450 – 300)}
                                     = 4 cos 750 + 4 cos 150
    c)    3 sin 2α sin α = - 3/2 (-2 sin 2α sin α)
                                 = - 3/2 {cos ( 2α + α) – cos (2α – α)}
                                 = - 3/2 cos 3α + 3/2 cos α
    d)   8 sin 600 sin 300  = - 4(- 2 sin 600 sin 300)
                                     = - 4 {cos (600 + 300) – cos (600 - 300)}
                                     = - 4 cos 900 + 4 cos 300

    Contoh :
    Hitunglah nilai dari :
    a)    4 cos 52½0 cos 7½0                                 b)  4 sin 52½0 sin 7½0
    PENYELESAIAN :
    a)    4 cos 52½0 cos 7½0  = 2 (2 cos 52½0 cos 7½0)
                                    = 2 {cos (52½0 + 7½0) + cos (52½0 - 7½0)}
                                    = 2 {cos 600 + cos 450}
                                    = 2 ( ½ + ½ √2 )
                                    = 1 + √2
    b)   4 sin 52½0 sin 7½0    = - 2 ( -2 sin 52½0 sin 7½0)
                                     = - 2 {cos (52½0 + 7½0) – cos (52½0 - 7½0)}
                                     = - 2 (cos 600 – cos 450)
                                     = - 2 ( ½ - ½ √2)
                                                 = - 1 + √2


    2.    Penjumlahan Sinus dan Kosinus.
    Rumus-rumus pada perkalian perkalian sinus dan kosinus, ditulis kembali dengan cara ruas kiri ditulis menjadi ruas kanan dan ruas kanan ditulis menjadi ruas kiri. Dengan cara seperti itu, diperoleh :
    sin (α + β) + sin (α – β) = 2 sin α cos β
    sin (α + β) – sin (α – β) = 2 cos α sin β
    cos (α + β) + cos (α – β) = 2 cos α cos β
    cos (α + β) –  cos (α – β) = - 2 sin α sin β
    Misal α + β = Adan α β = B,  makaα = ½ (A+ B) dan β = ½ (AB).Pembuktiannya adalah sebagai berikut :
    α + β = A                                  α + β = A
    α – β = B                                   α – β = B
    ________________ +              __________________ -
    2α = A + B                               2β = A B
    n   α = ½ (A + B)                    n    β = ½ (A – B)

                             

    Dengan mensubsitusi  dan  diperoleh :
    sin A + sin B = 2 sin ½ (A + B) cos ½ (A – B)                    .................. (3a)
    sin A – sin B = 2 cos ½ (A + B) sin ½ (A – B)                    .................. (3b)
    cos A + cos B = 2 cos ½ (A + B) cos ½ (A – B)                   .................. (3c)
    cos A – cos B = – 2 sin ½ (A + B) sin ½ (A – B)                 .................. (3d)


    Contoh :

    1.    Nyatakan bentuk-bentuk berikut ini kedalam bentuk perkalian.
    a)    sin 3x + sin x                        b)  cos 7α + cos 5α
    2.    Hitunglah nilai dari :
    a)    sin 750 + sin 150                    b)  cos 750 – cos 150
    PENYELESAIAN :
    1.    Nyatakan kedalam bentuk perkalian.
    a)    sin 3x + sin x  = 2 sin ½ (3x + x) cos ½ (3x – x)
                            = 2 sin 2x cos x
    b)   cos 7α + cos 5α = 2 cos ½ (7α + 5α) cos ½ (7α - 5α)
                              = 2 cos 6α cos α
    2.    Hitunglah :
    a)    sin 750 + sin 150= 2 sin ½ (750 + 150) cos ½ (750 – 150)
                                 = 2 sin 450 cos 300
                                 = 2. ½√2. ½√3
                                 = ½√6
    b)   cos 750 – cos 150 = - 2 sin ½ (750 + 150) sin ½ (750 – 150)
                                 = - 2 sin 450sin 300
                                 = - 2 . ½√2. ½
                                 = - ½√2

    DAFTAR PUSTAKA
    Tsishchanka, Kiryl. “Inverse Trigonometric Functions”. http://cims.nyu.edu/~kiryl/Calculus/Section_3.5--Inverse_Trigonometric_Functions/Inverse_Trigonometric_Functions.pdf (Diakses 12 Oktober 2013)
    Mulyana, Endang. “Trigonometri”. http://file.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/195401211979031-ENDANG_MULYANA/SMA_IPA/Bab3_Trigonometri.pdf (diakses tanggal 12 Oktober 2013).